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高中数学复合函数求导公式及法则

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
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复合函数如何求导

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，60O高三网

从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)60O高三网

呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！60O高三网

f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)60O高三网

所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).60O高三网

以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)60O高三网

y'={sin(3-x)]'=-cos(x)60O高三网

一开始会做不好，老是要对照公式和例子，60O高三网

但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。60O高三网

复合函数求导法则

证法一：先证明个引理60O高三网

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)60O高三网

证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x060O高三网

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)60O高三网

所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)60O高三网

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)60O高三网

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)60O高三网

所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)60O高三网

引理证毕。60O高三网

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)60O高三网

证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)60O高三网

又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)60O高三网

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)60O高三网

因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且60O高三网

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)60O高三网

证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)60O高三网

证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)60O高三网

当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu60O高三网

但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。60O高三网

又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得60O高三网

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx60O高三网

又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->060O高三网

则lim(Δx->0)α=060O高三网

最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)60O高三网

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标签： 复合函数求导公式 高中数学公式