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非零特征值的个数与秩有什么关系

非零特征值的个数与秩的关系：如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。对于方阵而言，秩不小于非零特征值的个数。Etn高三网

矩阵的秩和特征值个数的关系

关系：Etn高三网

1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。Etn高三网

2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。Etn高三网

证明：Etn高三网

定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。Etn高三网

定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。Etn高三网

定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。Etn高三网

定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。Etn高三网

定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。Etn高三网

定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。Etn高三网

矩阵的秩的变化规律及证明

1、转置后秩不变Etn高三网

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵Etn高三网

3、r(kA)=r(A),k不等于0Etn高三网

4、r(A)=0 <=> A=0Etn高三网

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)Etn高三网

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))Etn高三网

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)Etn高三网

证明：Etn高三网

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵Etn高三网

|AB O|Etn高三网

|O En|Etn高三网

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有Etn高三网

|AB A|Etn高三网

|0 En|Etn高三网

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有Etn高三网

|0 A |Etn高三网

|-B En|Etn高三网

所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)Etn高三网

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)Etn高三网

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