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微积分中导数与微分、积分之间有什么样的关系

高等代数的入门基础，通俗易懂的解释导数和微分的本质和作用

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微积分是高等代数的入门基础，必须掌握的知识。要理解微积分，必须先了解为什么需要微积分，这样才能更好的的掌握。HFe高三网

微积分发展，一般认为经历了三个阶段，第一个阶段是极限概念，这个概念其实很早以前就被提出了，比如说中国古代的庄子、古希腊的阿基米德等均提出过极限的概念。第二个阶段是求积的无限小阶段，这个阶段也在很久前被提出，如我国著名的数学文献《九章算术》就提出圆形分割求面积法。第三个阶段则是微积分互逆关系，最后一个阶段是由牛顿、莱布尼兹完成的。如果说前面两个阶段是萌芽阶段，那么在第三阶段就是发展成熟阶段，最终发展出现代高等代数的基础——微积分学。HFe高三网

微分的几何意义，如函数y=f（x）的图形是一条曲线，并且函数是可微的，曲线上一点M的坐标是[x0，y0]，那么如果P发生了一点变化，变成了N点，也就是横坐标增量为△x时，对应纵坐标的增量为△y。HFe高三网

通过M点做一条切线T，曲线上N点在T线上对应的点为P点，P点的横坐标也为x0+△x，纵坐标为y0+dy，也就是说，相对M点而言，T线上发生增量△x对应纵坐标的增量为dy。如果△x很小，小到MN段曲线可以认为是一条直线，一条经过M点的且和切线T重合的直线，那么这时候就可以认为△y无限接近于dy。HFe高三网

这下就好办了，如果曲线上任何一点都可以变化为切线来求，也就是说微分是一个“以直代曲”的思想，那么问题就变得很简单了，这便是微分的几何意义。HFe高三网

导数的几何意义是切线斜率，对于物理研究而言应该是变化率，然而说法还是不够准确，准确的说法应该是导数是寻找线性近似的概念。上面说了微分是“以直代曲”的概念处理问题，而这个“直”则来自于导数寻找出来的的“线性近似”。在微分中，曲线横坐标（自变量）的“变化量”引起纵坐标（因变量）的“变化量”，在极限概念中，近似等同于该点的线性直线的“变化量”。也就是说，微分的本质就是将复杂问题用极限的分割方法，分割至可以用简单问题的解决方法去解决。HFe高三网

圆分割为无限个圆环，圆环≈矩形HFe高三网

我们知道斜率k的计算是纵坐标之间距离除以横坐标之间距离，也就是y=kx+b，如果这条斜线穿过原点时，就可以表达为y=kx。如果f'(x)为切线斜率，那么根据切线公式可由斜率和横轴增量的乘积f'(x)△x求得纵轴的增量，即dy，导数的表达式为f'(x)=dy/dx，也称为微商（可不是现在网络上流行的卖东西的“微商”）。HFe高三网

在可导函数y=f（x）中，如果自变量x的微分dx定义为自变量x的改变量△x，那么函数在任意一点上的微分都可以表达为dy=f'(x)dx。HFe高三网

所以，导数和微分的区别在于，导数是一个变化率，如斜率，而微分则是一个线性段，其由斜率（导数）和自变量增量（变量）乘积而来的切线上的线性直线段（近似）。HFe高三网

最后举一个例子：小明骑自行车，出发时间为0点，每个时间点用x来表示，如可以表示为2.2222（转为十进制）点钟，y是小明从0点到x点所走的路程，那么：dx则为一个极小的时间分割段（近乎一个点），如2.2222……，dy则为dx时间内所走的路程，而y'（x）=dy/dx则是小明的速度变化率（速度函数，在dx时间内，可以近似认为该段时间内速度是匀速的）。HFe高三网

要真正的了解这个世界，了解这个世界的东西，微积分是一个必要的工具，一个可以将复杂的变化规律归纳至数学的形式——一种人类智慧所特有的理解能力的工具，至少不是不能言传只能意会那种玄意吧。HFe高三网

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高等代数的入门基础，通俗易懂的解释导数和微分的本质和作用

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