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高中数学复合函数求导公式及法则62y高三网

复合函数的导数公式是什么？62y高三网

复合函数求导公式什么？怎么求导？62y高三网

高中数学复合函数求导公式及法则

.常用导数公式62y高三网

1.y=c(c为常数)62y高三网

y'=062y高三网

2.y=x^n62y高三网

y'=nx^(n-1)62y高三网

3.y=a^x62y高三网

y'=a^xlna62y高三网

y=e^x62y高三网

y'=e^x62y高三网

4.y=logax62y高三网

y'=logae/x62y高三网

y=lnx62y高三网

y'=1/x62y高三网

5.y=sinx62y高三网

y'=cosx62y高三网

6.y=cosx62y高三网

y'=-sinx62y高三网

7.y=tanx62y高三网

y'=1/cos^2x62y高三网

8.y=cotx62y高三网

y'=-1/sin^2x62y高三网

9.y=arcsinx62y高三网

y'=1/√1-x^262y高三网

10.y=arccosx62y高三网

y'=-1/√1-x^262y高三网

11.y=arctanx62y高三网

y'=1/1+x^262y高三网

12.y=arccotx62y高三网

y'=-1/1+x^262y高三网

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：62y高三网

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』62y高三网

2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^262y高三网

3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'62y高三网

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。62y高三网

用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。62y高三网

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。62y高三网

在得到62y高三网

y=e^x62y高三网

y'=e^x和y=lnx62y高三网

y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。62y高三网

3.y=a^x,62y高三网

⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)62y高三网

⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x62y高三网

如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。62y高三网

由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。62y高三网

所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β62y高三网

显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。62y高三网

而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。62y高三网

把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。62y高三网

可以知道，当a=e时有y=e^x62y高三网

y'=e^x。62y高三网

4.y=logax62y高三网

⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x62y高三网

⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x62y高三网

因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有62y高三网

lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。62y高三网

可以知道，当a=e时有y=lnx62y高三网

y'=1/x。62y高三网

这时可以进行y=x^n62y高三网

y'=nx^(n-1)的推导了。62y高三网

因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,62y高三网

所以y'=e^nlnx?(nlnx)'=x^n?n/x=nx^(n-1)。62y高三网

5.y=sinx62y高三网

⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)62y高三网

⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)62y高三网

所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)?lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx62y高三网

6.类似地，可以导出y=cosx62y高三网

y'=-sinx。62y高三网

7.y=tanx=sinx/cosx62y高三网

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x62y高三网

8.y=cotx=cosx/sinx62y高三网

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x62y高三网

9.y=arcsinx62y高三网

x=siny62y高三网

x'=cosy62y高三网

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^262y高三网

10.y=arccosx62y高三网

x=cosy62y高三网

x'=-siny62y高三网

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^262y高三网

11.y=arctanx62y高三网

x=tany62y高三网

x'=1/cos^2y62y高三网

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^262y高三网

12.y=arccotx62y高三网

x=coty62y高三网

x'=-1/sin^2y62y高三网

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^262y高三网

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与62y高三网

4.y=u土v,y'=u'土v'62y高三网

5.y=uv,y=u'v+uv'62y高三网

均能较快捷地求得结果。62y高三网

复合函数求导公式什么？怎么求导？

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。62y高三网

主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。62y高三网

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。62y高三网

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。62y高三网

先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。62y高三网

两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。62y高三网

复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。62y高三网

对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。62y高三网

将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。62y高三网

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