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等比数列前n项和公式推导过程

等比数列前n项和公式是怎么推导的？想必许多同学对这个问题存有疑惑。下面，就跟小编一起来看看吧。Wtf高三网

等比数列前n项和公式如何推导

等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。Wtf高三网

推导如下：Wtf高三网

因为an=a1q^(n-1)Wtf高三网

所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)Wtf高三网

qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)Wtf高三网

（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。Wtf高三网

把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。Wtf高三网

把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。Wtf高三网

以此类推,把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。Wtf高三网

（2）式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。Wtf高三网

于是得到Wtf高三网

(1-q)Sn=a1(1-q^n)Wtf高三网

即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。Wtf高三网

等比数列前N项和的性质

1、若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；Wtf高三网

2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”；Wtf高三网

3、若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2；Wtf高三网

4、按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列；Wtf高三网

5、等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比；Wtf高三网

6、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数；Wtf高三网

7、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)(8)数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方；Wtf高三网

8、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式其实可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而其实可以利用指数函数的性质来研究等比数列。Wtf高三网

等比数列前n项和函数特性

|an=a1.q^bai(n-1)Wtf高三网

Sn=a1+a2+...+anWtf高三网

=a1(1+q+q^2+...+q^n)Wtf高三网

=a1(1-q^n)/(1-q)Wtf高三网

Note:(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)=1-q^nWtf高三网

|q|<1Wtf高三网

S(∞du)Wtf高三网

=lim(n->∞)SnWtf高三网

=lim(n->∞)a1(1-q^n)/(1-q)Wtf高三网

=a1/(1-q)Wtf高三网

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