等差数列求和公式推导 dwD高三网

设首项为a1 , 末项为an , 项数为n , 公差为 d , 前 n项和为Sn, 则有: 等差数列求和公式 当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。 注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一...dwD高三网

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等差数列求和公式推导方法

有很多喜欢学习数学的同学，是非常的想知道，等差数列求和公式推导方法是什么，小编整理了相关信息，西瓦会对大家有所帮助！dwD高三网

等差数列求和公式是怎么推导的

一。从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。dwD高三网

二。从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…dwD高三网

=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}dwD高三网

三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=dwD高三网

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。dwD高三网

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)dwD高三网

(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)dwD高三网

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+pdwD高三网

(q))dwD高三网

其他推论dwD高三网

①和=(首项+末项)×项数÷2dwD高三网

(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2dwD高三网

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))dwD高三网

证明原理见高斯算法dwD高三网

项数=(末项-首项)÷公差+1dwD高三网

(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)dwD高三网

②首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1)dwD高三网

③末项=2x和÷项数-首项dwD高三网

(以上2项为第一个推论的转换)dwD高三网

④末项=首项+(项数-1)×公差dwD高三网

(上一项为第二个推论的转换)dwD高三网

推论3证明dwD高三网

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)dwD高三网

+a(q)dwD高三网

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*ddwD高三网

=2*a(1)+(m+n-2)*ddwD高三网

同理得，dwD高三网

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*ddwD高三网

又因为dwD高三网

m+n=p+q;dwD高三网

a(1),d均为常数dwD高三网

所以dwD高三网

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)dwD高三网

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)dwD高三网

注：1。常数列不一定成立dwD高三网

2。m,p,q,n属于自然数dwD高三网

⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和dwD高三网

等差数列求定义

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意： 以上n均属于正整数dwD高三网

等差数列求和方法

1、公式法dwD高三网

2、错位相减法dwD高三网

3、倒序相加法dwD高三网

4、分组法dwD高三网

5、裂项相消法dwD高三网

6、数学归纳法dwD高三网

7、通项化归法dwD高三网

先将通项公式进行化简，再进行求和。dwD高三网

如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。dwD高三网

8、并项求和法dwD高三网

（常采用先试探后求和的方法）dwD高三网

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2ndwD高三网

方法一：（并项）dwD高三网

求出奇数项和偶数项的和，再相减。dwD高三网

方法二：dwD高三网

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]dwD高三网

方法三：dwD高三网

构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。dwD高三网

an=n(-1)^（n+1）dwD高三网

9、求和公式dwD高三网

等差数列求和公式推导过程 dwD高三网

等差数列前n项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+...更多内容,百度(www.baidu.com)一下,你懂的。dwD高三网

标签： 等差数列求和公式 高中数学公式